（空軍航空大學航空作戰勤務學院，吉林 長春 130022）
0 引言
正交頻分復用（OFDM,orthogonal frequency division multiplexing）技術已成為無線通信系統廣泛采用的重要技術，OFDM 信道質量直接決定了通信質量。因此，信道估計已成為OFDM 系統需要重點解決的關鍵問題之一。在信道為密集信道并且依賴大量導頻信號的基礎上，經典最小二乘（LS,least square）算法[1]和最小均方差（MMSE,minimum mean square error）算法[2]可以完成信道的估計，但由于導頻序列開銷大，需要很多導頻才能得到高的信道估計性能，且在信道為稀疏信道情況下，其性能并不理想。由于實際通信環境中信道表現出很強的稀疏特性，因此基于壓縮感知的稀疏信道估計成為OFDM系統信道估計的研究熱點。
當信號稀疏先驗特性已知時，壓縮感知可以利用低采樣率重構出原始信號，典型算法有正交匹配追蹤（OMP,orthogonal matching pursuit）、分段OMP（StOMP,stagewise OMP）[3]、正則化OMP（ROMP,regularization OMP）[4]、壓縮采樣匹配追蹤（CoSaMP,compressed sampling matching pursuit）[5]、廣義正交匹配追蹤（gOMP,generalized OMP）[6]、分段弱正交匹配追蹤（SWOMP,stagewise weak OMP）[7]和子空間追蹤（SP,subspace pursuit）[8]等算法。當稀疏度未知時，典型算法有稀疏度自適應匹配追蹤（SAMP,sparsity adaptive matching pursuit）算法[9]。文獻[10]提出了基于SAMP 算法的自適應正則化壓縮采樣匹配追蹤（ARCoSaMP）算法用于信道估計。文獻[11]提出了一種自適應步長SAMP（ASSAMP）算法并將其用于稀疏信道估計。文獻[12]在多徑數量未知且抽頭位置變化的情況下，提出一種基于搜索空間預處理的自適應正交匹配追蹤算法。文獻[13]結合原子預選和變步長思想，利用冪函數型的變步長方法克服SAMP 算法固定步長導致的重建精度低的問題，并得到更好的OFDM 信道估計性能。文獻[14]考慮信道的時間選擇性和頻率選擇性，研究了組稀疏壓縮感知的OFDM 時變信道估計方法。文獻[15]提出一種基于有限等距性質（RIP,restricted isometry property）的稀疏度預測自適應匹配追蹤算法實現OFDM 信道估計。文獻[16]提出優化的廣義正交匹配追蹤算法實現OFDM 信道估計。文獻[17]基于壓縮感知技術實現了OFDM 信道與脈沖噪聲聯合估計。塊稀疏自適應匹配追蹤算法被用于大規模多輸入多輸出（MIMO）系統稀疏度自適應信道估計[18]。
以上算法都不同程度地提升了OFDM 稀疏信道估計性能，但在迭代過程中對算法的計算量沒有進行充分優化，導致測量矩陣與殘差矢量內積運算中仍然存在較大運算量，算法運行速度比較慢；另一方面，對稀疏度進行更新時，稀疏度更新策略也不夠完美，需要進行多次迭代才能選出所有合適的原子，迭代效率不高。
針對OFDM 系統信道稀疏度未知以及上述問題，本文提出了一種基于內積運算優化與稀疏度更新約束的壓縮采樣匹配追蹤（IOC-CSMP,compressed sampling matching pursuit based on inner product optimization and sparsity update constraint）快速重構算法用于稀疏信道估計。在信道估計過程中，首先對信道稀疏度進行預估計，從而降低后續迭代次數；在每次迭代過程中，根據選擇向量ζ非零值位置索引來選擇測量矩陣Φ中對應的原子參與內積運算，而與選擇向量ζ中零值位置對應的原子由于與殘差向量正交，不需要參加后續迭代，因此內積的計算量得到有效降低。在稀疏度更新階段，利用相鄰兩次信道估計值hˆΠ和hˆold的能量差來對步長更新進行約束，有效提升步長更新的準確度。仿真結果表明，與SAMP 算法、ASSAMP 算法相比，當 OFDM 系統信道稀疏度未知時，IOC-CSMP 算法信道估計精度更高，運行速度更快。
1 OFDM 信道稀疏模型
考慮具有P個子載波的OFDM 系統，其中M個子載波用作導頻，信道長度為N，接收信號可表示為
其 中，X=diag{X(0),X(1),X(2),…,X(P-1)}是P×P維的對角矩陣，表示系統發送的數據符號；y=[y(0),y(1),y(2),…,y(P-1)]T表示接收信號；H=[H(0),H(1),H(2),…,H(P-1)]T表示信道頻域響應采樣值；n=[n(0),n(1),n(2),…,n(P-1)]T表示復加性白高斯噪聲；W表示P×N維離散傅里葉變換矩陣。
式(3)由式(1)兩邊左乘矩陣S得到。其中，yM是M× 1維向量，XM=SXST是M×M維對角矩陣，WM=SW是M×N維矩陣，nM=Sn是M× 1維噪聲向量，Φ=X MWM是M×N維測量矩陣。可以看出，h可以通過測量矩陣Φ和接收的導頻信號yM利用稀疏重構算法來進行重構，然后對信道頻域響應進行估計。
2 IOC-CSMP 快速重構算法
2.1 稀疏度預估計
假設測量矩陣Φ以參數(K,δk)滿足RIP，如果K0≥K，那么式(4)成立[19]。
同樣，式(4)的逆否命題也成立，即如果
那么K0＜K，利用式(4)和式(5)可以得到稀疏度K的預估值。
2.2 內積運算優化
當δ3k＜ 0.082時，滿足稀疏重構條件所具備的RIP 條件[20]，也就是說，在每次迭代中只要參與重構的原子數不超過3K，那么重構算法就可以對稀疏信號進行重構。
貪婪類重構算法利用測量矩陣Φ的列與殘差向量的內積來選擇最優原子。根據上述分析，每次迭代時，計算殘差向量與測量矩陣Φ的每個原子的內積，則支持集由最大的2K個內積元素對應的原子組成。當測量矩陣Φ的列數較大時，大幅增加了內積運算的計算量。目前，對內積運算的優化較少，因此本文提出下列算法對內積運算進行優化。
通過本文研究成果的試點、探索、改進，輔助某市級供電企業初步構建配網主動運維檢修工作機制，有效降低了配網故障事件發生、提升了供電服務質量，取得了良好的經濟效益和社會效益：
ζ中每個元素i的位置與測量矩陣Φ中每個原子的位置一一對應。在迭代過程中，當利用暫態解βtemp得到K個最大元素相應的索引集Π= [k,m,…,n]時，將向量ζ中與索引集Π對應索引位置處的值變為零，即
由于與索引集Π= [k,m,…,n]對應的測量矩陣Φ中K個原子是當次迭代的局部最優解，此時得到的K個原子與殘差向量在理想情況下是正交的。因此，在下一次迭代計算內積時就可以根據選擇向量ζ中非零值位置選擇測量矩陣Φ中對應的原子參與內積運算，而選擇向量ζ中零值位置的原子與殘差向量正交，不需要繼續參加后續迭代過程。這樣，對于內積運算，每次迭代過程中參與計算的原子數越來越少，內積的計算量就越來越小，算法運算速度越來越快，尤其是在稀疏度K較大的場合下，這種優勢越來越明顯。
2.3 迭代終止分析與稀疏度更新策略
在算法回溯階段，可以得到每次迭代的信道估計值為
在每次迭代過程中，對應的ΦΠ是由Φ中真實的個原子構成的矩陣。對于信道估計，由式(6)得到的為當前迭代過程中信道估計的最優值，隨著迭代過程的不斷進行，只要外界的信噪比不發生突變，那么值就會逐漸趨于穩定，也就是說值的穩定性不會隨信噪比的變化而變化。考慮相鄰兩次迭代信道估計值的能量差值為
由于值會隨著迭代不斷進行而趨于穩定，因此理想情況下Γ→ 0，考慮到實際情況，可設置迭代終止條件為
其中，η為迭代終止因子，且η∈ (0,1)。在迭代過程中，固定的步長會導致迭代速度和信號重構精度之間的矛盾，而變步長則可以解決這種問題。當信道重構逼近目標值時，將使用較小的步長來提高信道的重構精度。因此，可以繼續利用Γ值作為稀疏度更新步長的選擇依據。當相鄰兩次迭代稀疏信道估計值能量差異較大，即Γ＞ε時，則選擇大步長μ2來加快迭代速度；當Γ＜ε時，說明稀疏度估計值已接近信道真實稀疏度K，則選擇小步長μ1(μ1＜μ2)避免出現過估計問題。其中，ε是步長選擇門限因子且ε∈ (0,1)，要求ε＞η，因為若ε＜η，算法無法進入小步長選擇階段，導致信道估計精度無法保證。
2.4 算法步驟
2.5 算法計算復雜度分析
理論分析可知，在采用變步長策略條件下，算法的迭代過程會迅速收斂，一般條件下迭代次數T＜K，實際情況下稀疏度K通常滿足K2≤Ο(N)，因此計算復雜度近似為Ο(KM(N-K))。SAMP 算法中每一次迭代都可視為SP算法[8]，因此計算復雜度上界近似為Ο(KMN)，ASSMAP 算法[11]可視為SAMP算法的個例，因此計算復雜度為Ο(KMN)，對于OMP，一次迭代所需的浮點運算為 2KMN+3K2M，算法的計算復雜度上界為Ο(KMN)。可以看出，與OMP、SAMP 和ASSMAP 算法相比，本文算法的計算量更小，算法的迭代速度更快。
3 仿真與分析
本節對IOC-CSMP 算法的OFDM 信道估計性能進行仿真和驗證，并與LS、MMSE、SAMP、ASSAMP 等算法的性能進行比較，仿真實驗主要分析信道估計的誤碼率（BER,bit error rate）與均方誤差（MSE,mean square error）的變化情況。假設OFDM 系統調制方式為 64QAM，子載波數目N= 512，載波間隔為13 kHz，帶寬為6.65 MHz，導頻數Np=16，導頻形狀為塊狀導頻，信道長度L=64，OFDM 符號數為30，信道稀疏度K=6，信道非零抽頭位置服從均勻分布，并且在每一個OFDM 符號內都是不同的，信道信噪比變化范圍為5～30 dB，μ1=1，μ2=3，ε= 3 × 1 0-3，η= 1 × 10-5。
圖1 MSE 隨SNR 的變化
采用 LS、MMSE、ASSAMP、SAMP 和IOC-CSMP 算法進行OFDM 信道估計時，BER 隨SNR 的變化如圖2 所示。當SNR 較小時，信道受噪聲影響較大，不同算法的BER 差異不大；隨著SNR 增大，BER 逐漸減小，且不同算法之間的差異增大。從圖2 可以看出，與其他算法相比，不同SNR下IOC-CSMP 算法的BER 都較小，表現出良好的信道估計性能。同時，從圖1 和圖2 可以看出，IOC-CSMP 算法僅利用子載波總數3.13%的導頻數就能對OFDM 稀疏信道進行準確估計，有利于提升頻譜利用率。
圖2 BER 隨SNR 的變化
當SNR=25 dB，導頻數分別為8、16、32、64 時，不同算法的MSE 和BER 隨導頻數的變化分別如圖3 和圖4 所示。從圖3 和圖4 可以看出，不同算法的MSE 和BER 隨導頻數的增加呈下降趨勢。IOC-CSMP 算法的MSE 和BER 性能整體上優于其他算法，信道估計性能良好；當導頻數超過16時，其MSE 和BER 的下降趨勢相對平緩，信道估計性能并未大幅度提升。從頻譜利用率來看，當導頻數為16 時，即可滿足信道估計性能與頻譜利用率的綜合需求。
圖3 MSE 隨導頻數的變化
圖4 BER 隨導頻數的變化
當導頻數Np=32，稀疏度K分別為6、9、12時，SAMP、ASSAMP 和IOC-CSMP 算法的MSE隨SNR 的變化如圖5 所示。從圖5 可以看出，在不同信道稀疏度下，IOC-CSMP 算法的信道估計性能整體優于SAMP 算法和ASSAMP 算法。與圖1相比，導頻數Np=32、K=6時，算法的信道估計性能更好，但此時導頻數在子載波總數的占比提升了一倍，頻譜利用率會有所降低。
圖5 不同稀疏度下MSE 隨SNR 的變化
當稀疏度K分別為5 和13 時，LS、MMSE、ASSAMP、SAMP 和IOC-CSMP 算法的信道估計時間隨符號數的變化如圖6 所示。從圖6 可以看出，在不同稀疏度條件下，IOC-CSMP 算法的信道估計時間少于SAMP 算法和ASSAMP 算法，并且隨OFDM 符號數的增加信道估計時間變化不大。這是因為IOC-CSMP 算法的運算量比SAMP 算法和ASSAMP算法小，能在較短的時間內完成OFDM 信道估計。
圖6 不同稀疏度下信道估計時間隨符號數的變化
當導頻數Np=64、稀疏度K=8時，在不同稀疏度更新步長μ1和μ2條件下，IOC-CSMP 算法進行OFDM信道估計時MSE隨SNR的變化如圖7所示。從圖7 可以看出，μ1和μ2較小時MSE 較小，可以獲得較好的信道估計性能。這是因為μ1和μ2較小時，在信道稀疏度自適應更新過程中，稀疏度估計值能更準確地逼近真實的稀疏度K，從而使估計精度更準確。
圖7 不同稀疏度更新步長下MSE 隨SNR 的變化
4 結束語
本文針對無線信道路徑數量未知情況下OFDM系統稀疏信道估計問題，提出了一種基于內積運算優化與稀疏度更新約束的壓縮采樣匹配追蹤快速重構算法。首先對信道稀疏度進行預估計來降低后續迭代次數，基于壓縮采樣思想不斷更新并擴大支搜集來逐步逼近信道的稀疏度；通過構建與不斷更新選擇向量，利用選擇向量中零值位置對應的原子與殘差向量的正交性，在內積運算中僅利用與選擇向量中非零值位置索引對應的原子參與運算，有效降低算法的運算量，保證IOC-CSMP 算法快速收斂和估計精度。仿真結果表明，IOC-CSMP 算法比傳統的LS、MMSE 算法和SAMP、ASSMAP 算法具有更好的MSE性能和BER性能，比SAMP和ASSMAP算法需要更少的信道估計時間，算法運行速度更快。
